Обязана ли моя мама выплатить деньги от доли квартиры отца моей сестре?

Бабушка вправе отказаться от наследства в пользу твоей сестры. После оформления наследства и регистрации своего права на долю в Рег.. палате сестра будет вправе продать свою долю. Заранее никаких денег.
По правилам ст 250 ГК РФ должна предложить выкупить ее долю, если будет продавать третьим лицам, нотариус потребует.
Выкупить долю и подарить тебе может мама или отказаться (ей же платить придется).
Если откажется у сестры будет право продать свою долю третьему лицу (чужому человеку) Найдет такого покупателя или нет, дело другое. Так, что судьба приобретения доли сестры зависит только от твоей мамы. Удачи!

наследники первой очереди - супруга, родители и дети, поэтому наследство делится между вами абсолютно одинаково. если отец был собственником какой-то части вашей с мамой трехкомнатной квартиры, то его старшая дочь имеет право получить свою часть от того, что ему принадлежало. ваши с мамой доли она трогать не может, но свою законную долю имеет право получить, а как вы эту её долю ей отдавать будете - это уже забота вашей мамы.

Составьте список всего имущества, денежных средств, акций и т. д. что осталось от отца. Теперь выясняйте каким образом оно ему досталось, в браке или нет. Уточняйте что было поделено родителями и каким образом, а вот после этого уже и высчитывайте, что принадлежит отцу и что будет вам с бабушкой и сестрой принадлежать. Ваша мама за вас подаёт заявление нотариусу о принятии наследства.

Сестра, когда примет наследство, может продать свою долю. Но сначала должна предлодить вам с матерью. Вы не обязаны выкупать её долю. Но тогда она её продаст насторону.

Не обязана.

Никакой это не раздел.
Сначала наследники по завещанию или по закону принимают наследство
Что у вас там? Есть завещание? Если нет. кто наследники первой очереди по закону?
Почему вы упоминаете мать умершего и его двоих детей: вас и вашу сестру? У него нет отца в живых, он в браке не состоял на дату смерти? У него нет др. детей, и нет внуков от его умерших детей?
Что входит в наследственную массу отца вообще. и входит ли эта трешка. упоминаемая вами в вопросе в наследственную массу отца, или только доля в этой трешке входит в нследственную массу отца? какая именно доля?
Наследники могут и отказаться принимать наследство вообще.
А могут по ст. 1158 ГК РФ отказаться пользу др. лиц.
Т. е. мать умершего может отказаться в пользу дочери умершего- вашей старшей сестры.
А вы- принимайте наследство.
Вы не обязаны никому ничего дарить, платить деньги, делить с кем- то свою долю наследства
Вообще непонятно о чем это вы пишите:
"теперь сестра хочет получить деньги за доли в нашей с мамой (трёхкомнатной) квартире. Я -несовершеннолетняя и не имею возможности выплатить столь большую сумму, это примерно 350 тысяч рублей."
Сначала все должны принять наследство. потом могут соглашение о разделе насл. заключить- что кому. чтобы не крошить имущество наприер. но если хотят.
допустим сестре вашей. кот. получили по наследству в собсвтенность долю в этой трешке. эта доля не нужна для использования по назначению для проживания. и она хотела бы продать.
Ее право.
У вас. конечно как у сособственника есть преимущественное право выкупа по ст. 250 ГК РФ, но сделки несоверш. с близкими родственниками запрещены законом (ч. 3 ст. 60 СК РФ и ч. 3 ст. 37 ГК РФ), да у вас и денег нет.
Поэтому ваша мать, если тоже имеет долю в этой же квартире- имеет преимуществ. право выкупа доли сособственника- может выкупить долю дочери.
Выкупная цена. согласовывается сторонами в договоре.
-------------------
ГК РФ Статья 1165. Раздел наследства по соглашению между наследниками
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/591a8b9766a57a64b8a363b27fed3ba703690d7b/
если есть др имущество, вход. наслед. массу, наследники могут соглашением разделить.
например входила доля отца в трешке, машина, деньги. иные вещи, могли бы соглашением долю вам, ибо вы заинтересованы в использовании по назначению и проживаете, а машину и деньги- старш. сестре.

Не обязана.

так проще - возьмите в долг и выкупите долю

Твоя мама - наследник первой очереди, и никому ничего выплачивать не обязана. А твоя доля в квартире вообще неприкосновенна- ты несовершеннолетняя.