За ренту квартиры пенсионерка должна платит налог 13%.?

Да.
1.По п. 4 ч. 1 ст. 208 НК РФ - доход от ренты относится к доходам, полученным от сдачи в аренду или иного использования имущества, находящегося в Российской Федерации.
2. В соответствии с ч. 1 ст. 224 НК РФ облагается НДФЛ по ставке 13%.
3. По ст. 218 НК РФ может быть право на налог. вычет.
4. По ст. 228 НК РФ получатель ренты как физическое лицо, получающее вознаграждение от другого физического лица - плательщика ренты, не являющегося налоговым агентом, на основании гражд. -прв. договора
обязан самостоятельно исчислять суммы НДФЛ в порядке, установленном ст. 225 НК РФ.
5. По ст. 229 НК РФ получатель ренты обязан представить в налоговый орган по месту жительства налоговую декларацию в срок не позднее 30 апреля года, следующего за отчетным, и уплатить налог на доходы физических лиц не позднее 15 июля этого же года.
-------
Сайт налоговой
Я хочу представить декларацию и уплатить налог на доходы
https://www.nalog.ru/rn77/fl/pay_taxes/income/pay_taxes/

Если договор о сдаче жилья оформлен официально - то должна. Имхо.

Если имущество передаётся по договору ренты за деньги, то эта сумма облагается или нет, как при купли-продаже -- срок нахождения в собственности, и всё такое. Ежемесячное содержание облагается в любом случае.

Нет такого понятия "рента квартиры"
Есть аренда для юридических лиц, есть найм для физических лиц.

нужно внимательно почитать ст. 218 НК РФ. Хотела сама почитать - но там нужно вдумываться, а мне лень.

Пенсионер так же платит налог на доходы. Должна платить 13 % от суммы. А если нет договора, то это уже уклонение от уплаты налогов и тут уже будет штраф или срок.