При съеме квартиры лист договора находится на руках у собственника? Арендатор просто платит и все? Как снять квартиру?

два экземпляра договора

Читайте.
ГК РФ Глава 35. Наем жилого помещения
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_9027/46b23778260172f3e2253fc52212367ad0957012/
Узнаете, что дог. найма, наймодатель и наниматель.
Платит наниматель не "просто так", а исполняя обязательство по договору найма.
Договор заключается в кол-ве экземпляров по числу сторон, м. б. и плюс один в отдел. случаях.
Договор можете в простой письменной форме, можете и в нотариальной.
По нотариал. договору наниматель может зарегиться по месту пребывания в снимаемом жилом помещении один, не приводя наймодателя, чтобы тот написал согласие на заяве нанимателя.
Если договор сроком на год и более (до 5 лет), обременение по договору подлежит госрегистрации в ЕГРН.

Как снять квартиру? Есть много способов, это подойти к бабушкам (они всё знают ) на лавочке у дома и спросить, не сдается ли в их доме квартира.
Если вы решили воспользоваться услугами агентства, обязательно заключайте договор, где пропишите все риски по некачественно сданной квартире.
И никаких пред-оплат — комиссия только по факту заселения !
Знакомый рассказал криминальную историю об одном «находчивом» парне. Молодой человек снял квартиру на сутки и умудрился за один день сдать ее нескольким людям… на месяц. Хозяйка посуточного жилья была удивлена не меньше пострадавших, когда увидела на пороге своего дома несколько семей с чемоданами. Будьте внимательны — не попадитесь на удочку мошенников.

Договор всегда должен быть в двух экземплярах, каждый из которых должен быть абсолютно идентичен другому.