Когда заключается договор о съеме жилья, идут ли куда-нибудь паспортные данные арендатора?

Никому ваши данные не нужны. Вернее, нашему царству-государству от нас нужно всё, но пока еще не придумали как нас уличить в аренде-сдачи помещения.
Оформляйте договор с агентством недвижимости, получите договор, заплатите ему требуемую сумму и -живите или сдавайте, вы никому не нужны. Уверяю!

в паспортный стол должны по идее. регистрацию же делают и в налоговую. если арендодатель платит налоги. это уже дело хозяина.

Договор найма жилого помещения будете заключать и называться нанимателем,
а собственник жилого помещения будет наймодатель.
ГК РФ Глава 35. Наем жилого помещения
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_9027/46b23778260172f3e2253fc52212367ad0957012/
----------------
Пойдете с наймодателем к юристу составить и оформить договор найма постой письм. форме, раз сами - с мороза. Можете и в нотариал. форме заключить договор найма.
Паспортные данные не "ходят".
Паспортные данные сторон указываются в договоре.
Если договор найма на срок не менее года, то нужно в ЕГРН зарегить обременение по договору.

Кому они нужны те данные, кроме арендодателя? Это если вы там кильдим создадите или стащите чего- вот хозяин вас и вычислит по этим данным. Как раз ваши родители и узнают о том, где вы живёте. И чего натворили. А если спокойно будете жить- так никто и не узнает где вы обитаете.

Не идут никуда.

никуда . это нужно для того, что при конфликтной ситуации арендатор был вправе заявить о своих правах.