Хочу продать квартиру, жить на съемной. Есть несовершеннолетний ребенок. Можно ли жить без постоянной прописки без проблем?

Вы в своем уме?

Что такое "административное жилье"?
Никаких прав ни Вы, ни Ваш ребенок на получение какого-либо жилья ль государства (муниципалитета) не обретете. поскольку налицо будет намеренное ухудшение жилищных условий.
"Прописки" в России не существует уже двадцать шестой год, так что без несуществующего предмета жить вполне можно. Если же Вас интересует именно регистрация по месту проживания (пребывания), то жить без нее тоже можно, но не в жилом помещении, а в землянке, сарае, хлеву и прочих строениях, т. к. проживание без регистрации в ЖИЛОМ помещении влечет административную ответственность. Таковое отношение к своему же ребенку вызовет немедленное переселение органом опеки ребенка в детское учреждение и лишение Вас родительских прав

А то. Сейчас всем бомжам выдают по квартире. Город и район по выбору. Отделка квартиры по заказу. Вы совсем обалдели?

Самое глупое, что можно сделать, чтобы на какое-то время получить некую сумму денег - это то, что вы придумали.

Не бывает "административного жилья" и "права" на него.
Если Вы собственник жилого помещения можете распоряжаться, продать в том числе.
Если будете снимать жилое помещение для проживания, заключите договор найма. вселитесь в жилое помещение и зарегитесь по месту пребывания на срок действия договора найма.
-----
Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 27.12.2018) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"
из ст. 3:
В целях обеспечения необходимых условий для реализации гражданином Российской Федерации его прав и свобод, а также исполнения им обязанностей перед другими гражданами, государством и обществом вводится регистрационный учет граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации.
Граждане Российской Федерации обязаны регистрироваться по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации. Регистрация или отсутствие таковой не может служить основанием ограничения или условием реализации прав и свобод граждан, предусмотренных Конституцией Российской Федерации, федеральными законами, конституциями (уставами) и законами субъектов Российской Федерации.
...
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_2255/04639a757c2dbd693185a3bc7de296851abe76b8/
----

будете делать регистрацию по месту пребывания

можно жить только с регистрацией по месту пребывания. В очередь на жилье не поставят, все остальное будет.

а прожрёте хату-бомжевать пойдете. Это твой выбор. Вперед

можно! можно жить без прописки! даже таким безмозглым! и ребенка вышвырнут в бомжи тоже - никто не запретит! очень хотелось бы узнать, что ты подразумеваешь под термином "административное жилье" - нору в овраге? собачью будку? койку в ночлежке?

Без "прописки" жить можно, но не нужно.

Ничего не выйдет. Ребёнка не разрешит выписывать соцслужба.

А в чем проблема? Расскажите. Почему вы хотите это сделать?
Ибо со стороны выглядит так, как будто вы себе хочете петлю на шею забросить.
Остаться без жилья - это самое худшее что может быть имея при этом ребенка.
Вы ж скорее всего деньги потратите на чушь какую-то после продажи квартиры.
И это вполне нормально и ожидаемо, что деньги начнуть транжирится направо и налево.
Поживете вы пару лет шикарно, деньги потом закончатся. Случится какой-то несчастный случай и вы не сможете в один день оплатить аренду квартиры. И все.... На улицу...
А по поводу прописки - это будет большая проблема.
Вы понимаете, что у вас будет фактически статус "Бездомная"?
При оформлении многих документов нужно предоставить данные о прописке, что вы будете делать?
Я думаю появится очень много проблем из-за этом. Не сразу, но будут.

Можете без проблем. Но никакого административного жилья вам никто не предоставит. А прописки в РФ уже 25 лет как не существует.

Если не ошибаюсь в течении 3-х месяцев после продажи необходимо, что бы у несовершеннолетних появилась прописка (время на поиск новой кв)

По закону "прописка" , т. е. регистрация по месту жительства имеет уведомительный характер. По факту загебешься это доказывать, в поликлинике "профессора" юриспруденции, ну и так далее, сплошь ученые люди.... Пока до суда не дойдешь, и не докажешь — ничего не получишь.

Вам на ребенка совсем насгать? Отдайте в дет. дом, найдутся добрые и любящие люди.

Может, вы ошибаетесь в своем решении?? Это не умное решение. У вас силком эту квартиру никто не отнимет. Запомните!