Что я могу сделать с 1/4 частью 3-комнатной квартиры, которая в моей собственности.

Вы стали собственником доли и у вас все права собственника, согласно ст. 209 ГК РФ Содержание права собственности https://yandex.ru/turbo/zakonrf.info/s/gk/209/ ,которые никто не вправе нарушить.
Раз квартира в долевой собственности, читайте ст 246 ГК РФ Содержание права собственности https://yandex.ru/turbo/zakonrf.info/s/gk/246/
ст. 247 ГК РФ Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности https://yandex.ru/turbo/zakonrf.info/s/gk/247/
В случае смерти родственника.. наследование по закону. О каком родственнике идет речь не написали. Надеюсь, что разберетесь, о чем Дмитрий Борин вам написал, да и думать о наследстве рановато. Удачи!
.

Как это - "написав дарственную на другого родственника"? Абсурд.
Ответ на вторую часть вопроса зависит от наличия завещания и места среди потенциальных наследников.

Ваша доля не изменится, если другие собственники подарят или продадут свои доли.
Наследование зависит от завещания или от степени родства.

Продать с применением ст. 250 ГК РФ. Подарить, завещать.
вы не являетесь наследником вашего дедушки, наследник по Закону - жена, дети (ваш отец), родители. если умрёт ваш отец раньше своего отца (деда), то вы по праву представления можете принять наследство деда и долю отца как наследник первой очереди вместе с братьями. сёстрами вашими, женой отца, его родителями.

Со своей долей вы можете делать всё, что хотите- продать ( если кто купит), подарить, завещать. И родственники тоже. В случае продажи у сособственников преимущественное право покупки. Что там будет после смерти ваших родственников- нам не известно. Вы не указываете кем они вам являются. Наследование может быть по завещанию и по закону. Родственники могут и при жизни распорядиться своим имуществом

Попытайтесь изложить свой вопрос внятно, чтобы все поняли его смысл.

Если у в собственности четвертая часть квартиры, то лишить вас этой собственности не могут. А вот в случае смерти других собственников унаследовать их доли могут наследники либо те, кому завещано.

у Вас не часть квартиры, а доля вправе общей собственности. Как собственник Вы вправе ей распорядится любым способом не запрещенным законом. Лишить Вас права собственности не смогут. Получить доли остальных сособственников, в случае их смерти Вы сможете если они Вам завещают свои доли, или если Вы относитесь к наследникам первой очереди, а они не оставят завещаний на других лиц

1. Не могут
2. Разве что другие собственники тебе родители. В остальных случаях очень маловероятно.

Что можно сделать с долей: пользоваться, продать. Больше ничего.

сам то понял что спросил?
Свои доли они могут дарить кому угодно
Вашу без вашего согласия - это мошенничество со всеми вытекающими

Могут ли лишить меня 1/4, написав дарственную на другого родственника.
Нет.
могу ли я претендовать на квартиру в случае смерти родственника 1/2?
На 1/2 да.
могу ли я претендовать на квартиру в случае смерти родственника 1/4?
Это брат или сестра. Тут сложнее. Да, если у родственника нет детей.