Через какие каналы риэлтор проверяет квартиру на вторичном рынке? И как получить доказательство что он ее проверяет?

Да никак он не проверяет. Он называет продавцу, какие справки надо собрать, продавец их собирает и отдаёт риэлтору. Готовый пакет документов, камерально проверенный риэлтором (то есть прочтена бумага, в которой нужный для сделки текст), является основанием для сделки. А что там потом вылезет - это не его проблемы, он юридически не несёт за это ответственности..Риэлтор вам п о м о г собрать документы для сделки и провести её. Даже сдаст доки в Росреестр на регистрацию и поучаствует
в передаче денег за увеличенный гонорар.
Поэтому покупатель должен лично видеть правоустанавливающий договор, на основании которого сам продавец приобрёл квартиру в собственность. Должен лично удостовериться, что выписка ЕГРН свежая и в ней не вписано обременений и других со-собственников, от которых не получено согласие на сделку. При наличии обременений - бежать от этой сделки, как от потопа вселенского. Вопросы оплаты задолженности по ЖКХ на дату сделки тоже риэлтора мало интересуют. Смотрите сами.
И - да, покупателю следует пообщаться с будущими соседями на предмет того, не сидит ли кто из той семьи в заключении или в психушке, которые могут по выходу прийти к вам вместе с вами жить.

лучше это делать самому. беседы с бабушками у подъезда - важный источник информации. я серьёзно.

другой вопрос: если ты не знаешь, о чём с народом говорить - дело тухлое.
и всё равно лучше самому.

самому проверять хотя бы историю квартиры

Практически никак. Он всегда может сослаться на "конфиденциальность" информации и строгую секретность в ее получении.

Никак они ее проверить не могут. Только выписку из ЕГРН заказать, но это может сделать любой человек. Даже о временно зарегистрированных гражданах не узнает. Если есть в паспортном столе хорошие знакомые, которые за денежку могут предоставить информацию. Но поверьте всех паспортистов не прокормить.
Помимо проверки документов нужно поговорить с соседями. Собственник, а тем более риелтор могут промолчать о проблемах.

Да никак. Были случаи что даже после регпалаты, через пару лет всплывало обременение

ЕГРН