Сотрудник в одном заявлении об отпуске без сохр. зп написал, что просит отпуск на 4,5,6,7 мая и на 11, 12,13,14 мая

Все куда проще - в заявлении указаны именно эти дни и значит в приказе об отпуске должны быть именно эти дни! Заявление сотрудника - это его волеизъявление и в данном случае он совершенно прав, т. к. он просил (волеизъявлял) одно, а вы написали в приказе совсем другое. Вот есл и бы он писал заявление на оплачиваемый отпуск - тогда другое дело.

но ведь праздничные дни особо указаны государством и оплата за простой во время этих дней всё равно платится?
поэтому его требование вполне справедливо, ведь он говорит о тех днях, когда он должен работать, но не будет.

У НЕГО 2 разных отпуска и должно быть 2 заявления а не одно

Давайте рассмотрим 2 статьи Трудового кодекса:
Статья 120. Исчисление продолжительности ежегодных оплачиваемых отпусков
Продолжительность ежегодных основного и дополнительных оплачиваемых отпусков работников исчисляется в календарных днях и максимальным пределом не ограничивается.
Нерабочие праздничные дни, приходящиеся на период отпуска, в число календарных дней отпуска не включаются и не оплачиваются!!! !

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Отпуск без сохранения заработной платы исчисляется в календарных днях и в статье 128 ничего не сказано про выходные дни!

Многие у нас в заблуждении что праздничные дни оплачиваются - НЕТ УВАЖАЕМЫЕ ГОСПОДА.
Праздничные дни не оплачиваются - просто например для тех кто на окладе - смена в те месяцы где есть праздничные дни дороже (простой пример: вы получаете свой оклад независимо сколько РАБОЧИХ дней в месяце - 23 или всего 18 как бывает в январе. Если у вас оклад 23000р в месяц то при 23 рабочих дней у вас один день будет стоить 1000р. а при 18 рабочих дней - 1278р. Это только сдельщики проигрывают от праздников! Они ведь сколько заработали столько и получили - а дней работать меньше.

Так вот - получается что когда человек берет ежегодный отпуск - выходные у него входят в дни отпуска и оплачиваются, оф. праздники - нет.
А когда человек берет отпуск без сохранения зп - у него ничего не оплачивается.
Отвечу почему человеку невыгодно брать 11 дней отпуска - т. к. кадровик должен суммировать дни без сохранения заработной платы за РАБОЧИЙ ГОД сотрудника - и если их больше 14 то переносить отпускной период - в соответствии со Статьей 121. Исчисление стажа работы, дающего право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск - В стаж работы, дающий право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск, не включаются время предоставляемых по просьбе работника отпусков без сохранения заработной платы продолжительностью более 14 календарных дней.

Вот вы человеку это все объясните - одно заявление - один приказ на отпуск.
Два заявления - два приказа - с перерывом на праздничные дни.
Это в его же интересах и ничего доказывать не надо.

Если давать отпуска только на рабочие дни, то при пятидневке гулять будут по 36 дней - у меня таких хитрецов много было!

Правильней написать два приказа, потому что в заявлении обозначены два периода 4-7.05 и 11-14.05. Возможно он подозревает, что где-то подвох с одним приказом, а где понять не может (в противном случае сказал бы об этом) . А подвох в следующем: при определении стажа работы, дающего право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск, не включается время предоставляемых по просьбе работника отпусков без сохранения заработной платы, превышающее 14 календарных дней в течение рабочего года (ст. 121 ТК РФ) .
Таким образом если написать одним приказом, то будет 11 кал. дней, а если 2 приказа, то 8 дней, т. е. 3 дня разницы.