Нужно ли при совмещении должностей, заключать дополнительный трудовой договор, или достаточно заявления?

Речь о совместительстве или совмещении? Если все-таки совмещение, то необходимо составить дополнительное соглашение к уже существующему договору, в котором будут прописаны дополнительные обязанности и доплата за совмещение.
Если совместительство, то заключается новый трудовой договор, издается приказ по личному составу о приеме на работу по совместительству, заводится личная карточка Т-2 и т. д. (т. е. такая же процедура как при приеме нового сотрудника).

Должно быть составлено дополнительное соглашение с описанием обязанностей и издан соответствующий приказ. В приказе указывается причина совмещения и указывается сумма доплаты.
Дополнительное
соглашение № ___
от __ ______ г.
к трудовому договору № ___
от __ ______ г.

Учреждение в лице руководителя _______, действующего на основании Устава (Положения) , именуемого в дальнейшем Работодатель, и гражданин Российской Федерации _______, именуемый в дальнейшем Работник, заключили дополнительное соглашение к трудовому договору о нижеследующем.
1. Дополнить трудовой договор № __ от __ ____ г. следующим пунктом:
«Работнику поручается в порядке совмещения должностей выполнение обязанностей _____ с доплатой за совмещение должностей в размере ___ руб. в месяц» .
2. Настоящее дополнительное соглашение является неотъемлемой частью трудового договора и вступает в действие с __ _____ г.

Адреса и подписи сторон

При совмещении делают доп. соглашение к уже имеющкему трудовому договору + приказ о совмещении в свободной форме.

А при внутреннем совместительстве заключают отдельный трудовой договор + приказ о принятии на работу.

Вообще правильно будет заключить договор.

При совмещении профессий или должностей с работником не заключается отдельный трудовой договор. Нужно согласовать необходимые условия совмещения и заключить дополнительное соглашение к трудовому договору. Например, инспектор отдела кадров может совмещать свою работу с работой секретаря.

если совместительство- нужен ТД, если совмещение- не нужен. только ДС

да, один договор на одну должность, другой - на вторую

Татьяна и Людмила совершенно правы)