Подскажите пожалуйста, работа по трудовому договору/соглашению, как это выглядит, работадатель, не делает запись в тр/к?

Допускается в случае работы по договору оказания услуг. Данный вид договора регулируется Гражданским кодексом и не имеет отношения к шатаному сотруднику. Сторонами являются Заказчик и Исполнитель за определенный вид работы за отдельно оговоренную плату. Сделали работу в полном объеме, претензий нет, получили вознаграждение и договор считается выполненным обеими сторонами.
Все остальные отношения, сторонами которых выступают Работодатель и работник оформляются в строгом соответствии с ТК РФ, т. е. сведения вностся в трудовую книжку независимо от вида и срока трудового договора.

При выполнении работы по трудовому соглашению не оформляется заявление о приеме на работу, не издается приказ, не вносятся записи в трудовую книжку, не ведется табель учета рабочего времени, не предоставляется ежегодный отпуск, не оплачивается больничный лист. После выполнения работы сторонами подписывается акт приемки-сдачи выполненных работ, который является основанием для выплаты вознаграждения, предусмотренного трудовым соглашением.

При официальном, по закону, устройстве на работу, с работником заключают трудовой договор и вносят запись в трудовую книжку.

При оформлении по договору подряда (агентскому договору или другому виду ГПД) запись в трудовую книжку не делают, т. к. нет трудовых отношений, больничный и отпуск не оплачивается.

Бланк трудового договора можно посмотреть в поисковой системе. Права, обязанности, заработок, график, отпуск, что-то еще добавляет работодатель, может и должностную инструкцию ввести в ТД, на основании договора пишется приказ, и делается запись в трудовой книжке.