Не подписывают заявление, что делать?

Должны отпустить. Они не правы. Еще раз подойти к начальнику и спросить, в чем причина? Вопрос - когда Вы написали заявление об увольнении, какого числа?

c 27 декабря нужно отработать 2 недели, все по закону, т. е. с момента подачи заявления. Чтоб не отрабатывать, нужно было договариваться. А так, получается что они правы.

Для начало нужно быть юридически грамотной.
Каким числом подписано заявление на увольнение?
Есть ли у вас копия этого заявления подписанная секретарем?
Если у Вас заявление от 27 декабря и никакой другой даты нет, они на законном основании могут потребовать отработать две недели, а слова к делу не пришьешь. Вам увольнение по статье грозит, постарайтесь расстаться полюбовно, иначе можете пострадать.

"сказала"- не документ, к делу не пришьёшь.. в таких ситуациях пишется одно заявление, в котором указывается "отпуск с последующим увольнением" Последний день отпуска- дата Вашего увольнения. На основании этого заявления издаётся 2 приказа- об отпуске и об увольнении, расчёт производится в последний рабочий день перед отпуском, трудовая выдаётся тогда же.

читайте ТК РФ. отработка (14 дней) начинается со дня, следующего после получения заявления (на увольнение) работодателем. Если заявление написано 27 дек, то с 28 дек отрабатываете.
Заявление регистрируется при подаче.
а сказать можно много всего разного.. .
и со свинским отношением надо бороться, с этим совершенно согласна, но здесь его совершенно не усматриваю.