Работодатель устроил проверку кадровику на предмет правильности внесения записей в трудовые книжки. -

Отвечаю: 1.Не прикреплен вкладыш (как прикрепить???) - необходимо просто прошить (пришить) вкладыш в конец ТК.
2. Нет сведений об образовании у уборщика служебных помещений (а если оно среднее, то надо ли вписывать другим почерком и цветом, если человек всю жизнь работает уборщиком и требований к образованию не предъявляется?) - сделать запись об образовании (среднее) на титульном листе ТК
3. Нет печати на вкладыше (он был выдан даже не предыдущим работодателем, а много раньше - что делать в этом случае нынешнему кадровику?) - составить акт проверки записей ТК в 2-х экз. (один - для организации; второй - для работника), указав ВСЕ недочеты и ознакомить работника под подпись; проконсультировать работника, какие действия следует предпринять (обратиться в ту организацию или в архив); если потребуется, направить официальный запрос в организацию или в архив.
- у одного работника не прописано отчество на титульном листе - что делать в этом случае?
Недавно ПФ не принял трудовую книжку в связи с заполнением разными чернилами титульного листа - так надо ли вмешиваться и дописывать, создавая людям проблемы в будущем?

Проблемы в будущем у людей будут, если Вы не устраните указанные недостатки. Думаете, ПФ принял бы трудовую без отчества? Представляете, сколько у него по стране однофамильцев? А как исправлять -проконсультируйтесь с юристом или ещё с кем.

На этот случай есть инструкция по оформлению трудовых книжек, еще можно проконс в ПФР

Трудовым книжкам скоро конец. Ни в одной развитой стране нет никаких трудовых книжек, однако, всё работает.