Вопрос про запись в трудовой книжке.

Должна указать.

Нет? Тогда как ты это потом будешь объяснять в пенсионном фонде?
Я понимаю, что ты живёшь одним днём, но, ведь надо хоть немножко и о будущем подумать.

так и получилось, что запись о работе по совместительству (если совместительство оформлено) вносится в трудовую книжку по личному заявлению работника. надо вам эту запись, напишите в отдел кадров заявление с просьбой её внести. а пока нет от вас заявления, нет и оснований для внесения в трудовую книжку записи о работе по совместительству.
а если у вас совмещение оформлено, так оно вообще в трудовую не вносится.

Можете. Резюме- это перечень реального опыта работы и навыков, а не записей в трудовой.

конечно можете и даже неофициальную можете и временную и ГПХ и даже фриланс можете указывать если они полезны для определенной должности

В резюме лучше указывать все имеющиеся навыки. Тем более, если речь идет о должности программиста. Вы же смоете подтвердить свои полставки программистом, если совмещали официально.

указать в резюме можете, если не хотите заносить эту запись в трудовую книжку, можете просто попросить об этом справку

Если вы не совмещаете две должности. а приняты по приказу на 0,5 ставки, работодатель по вашей просьбе должен занести запись об этом в трудовую книжку. Обязательно занесите, это вам пригодится для дальнейшей карьеры. Как потом доказать другому работодателю о том, что у вас есть опфт работы программистом