Есть ли в этой фразе речевая ошибка? Я говорю что есть. Со мной спорят! как мне доказать?--->

"очень четкая" применительно к "статье" - не совсем корректно, как и "очень круглый", но может быть "очень четкая картинка" или "идеально круглый". "очень превосходный", разумеется, масло масляное.. .
Так что сочетание может быть - но не ко всему применимо

Ну если можно сказать "не очень чёткий" (в этой работе взаимосвязь А и Б изложена недостаточно чётко.. . ХХХ не очень чётко выполнил этот несложный прыжок...) , то ФОРМАЛЬНО сказать "очень чёткая" можно. Хотя, согласен, такое словосочетание привычным не выгладит. Вот что НЕЛЬЗЯ сказать (на мой личный вкус) - это "чёткая статья".
Статья может быть какой угодно - доходчивой, живой, простой или сложной, поучительной, аргументированной, ясно написанной - но вот чёткой быть не может. Чётким может бытть ИЗЛОЖЕНИЕ статьи (и то сомнительно) или МЫСЛЬ, выраженная в статье.

Ожегов:
ЧЕТКИЙ
1. Отчетливо разделяющийся, раздельный (во 2 знач.) . Четкие движения. Ч. шаг. Ч. почерк. Ч. рисунок.
2. Ясный, точный, вразумительный. Четкое изложение.
3. перен, Хорошо организованный. Четкая работа. || сущ. четкость, -и, ж.

Если четкое изложение в значении точное, значит, можно сказать очень точное. Значит, и четкая статья= очень точная.

Очень чёткий сказать можно. Чёткость - явление не строгое (это я как фотограф говорю) . Объект может быть чётким, очень чётким, слегка размытым, не очень чёткий. А вот применение слово "чёткий" к статье, на мой взгляд не правильное. Что такое "чёткая статья"? Статья которая легко читается? И почему легко читается? Потому, что хорошо напечатана в типографии или на принтере или хорошо написана? А может её "чоткий пацан" написал?

я не специалист, но мне слух эта фраза не режет. конечно она больше сленговая, то есть можно было выразить мысль по-другому, но в наше время это допустимо по-моему

В русском литературном языке такие вольности не допускаются - это правда.. . Как и прилагательное "четкий"

"очень четко подмечено" бывает и так, "четкая" - всмысле "ясно", "хорошо просматривается (видно) ".

В данном случае - это неологизм.
Т. е. свойства одного переносятся на другое (придается новое значение слову четкая) .
Но Вас же не будет шокировать Очень четкая фотография ?

Я думаю можно так сказать. Тоесть чёткая - в степени очень. Может быть просто чёткой, может - очень чёткой. Равносильно: Красивая - очень красивая.

Качественные прилагательные обозначают признак предмета по:
- форме (прямой, угловатый, кривой, круглый)
- размеру (узкий, низкий, огромный, крупный)
- цвету (красный, лимонный, багровый)
- свойству (прочный, вязкий, хрупкий)
- вкусу (горький, соленый, кислый, вкусный)
- весу (тяжелый, увесистый, невесомый)
- запаху (ароматный, пахучий, приторный)
- температуре (теплый, прохладный, жаркий)
- звуку (громкий, оглушительный, тихий)
- общей оценке (важный, вредный, полезный)

Качественные прилагательные могут сочетаться с наречием очень (очень смуглый, очень веселый)

Да ты права, эти слова не могут употребляться в таком сочетании.