Почему никто не додумается создать другую систему аксиом и из нее выводить другие математические законы?

здрасьте!
Почти вся математика стоит на системах аксиом, причем - самых разных.

Неужели никогда не слышали про геометрии Лобачевского и Римана? Это как раз "другие системы аксиом".

Вся алгебра (не путать со школьной! ) - сплошь одни аксиоматические системы. И все - разные.
Все эти группы, кольца, поля, линейные пространства.. .

Но вас обманули относительно роли аксиом. Математические теории не начинаются с них. Они кончаются ими.
Евклид не брал с потолка аксиомы, а чтобы строить теоремы. Как раз наоборот - сначала появилась идея геометрии, большой набор открытых фактов и теорем, доказанных относительно строго. И только потом, как подведение итогов, Евклид собрал все это в единую строгую систему. И только тут появились аксиомы, с которых надо начинать доказывать.

То же самое с числами - они появлялись из практических нужд, потом развивались, появлялись дроби, отрицательные, иррациональные. Создавалась большая теория - и всякие теоремы Ферма, и формулы решения уравнений. И только потом, уже в конце 19-го века привели все это в строгий порядок, построив аксиоматическую теорию.

Так и теперь: сначала исследуются конкретные объекты получаются их свойства, и только потом отвлекаются от конкретности и строят чисто аксиоматическую теорию.

Аксиомы - это не фантазии, высосанные из пальца. На высосанных содержательную теорию не построишь.
Это "интерфейс теории". Когда теории аксиоматизирована, ее можно применять к самым разным объектам. Только проверить для них выполняются ли аксиомы - если выполняются, значит и все теоремы сразу становятся верны.

Других систем аксиом - море. Наиболее наглядные примеры - геометрия Лобачевского и геометрия Римана.
Некоторые практические применения геометрии Лобачевского, кстати, существуют.
Так что вопрос не в том, чтобы создать некую систему аксиом и вывести из неё некоторые законы, а скорее в том, будет ли это иметь какое-либо применение в науке и жизни....

Есть целый раздел аксиоматика. Ещё в 19 веке сформулированы требования к аксиоматическим системам - они должны быть полны и непротиворечивы. Если аксиоматическая система неполна, в ней появляются недоказуемые утверждения. Если она противоречива - в ней можно доказать всё что угодно.
Просто современная математика занимается намного более интересными вещами. То что вы предлагаете, это как сидеть и сочинять очередное уравнение .

Аксиома- утверждение не требующее доказательств.
Вода- мокрая, небо- синее.
Кто с этим спорит- лежит в Кащенко.