Теорема Геделя

Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.
Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику) , существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни \neg F не являются выводимыми в этой теории.

Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.

Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931 году.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику) , формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Эта теорема имеет широкие последствия как для математики, так и для философии, в частности, для онтологии и философии науки.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теоремы_ГёдеР%

Теорема Гёделя гласит: в любом формальном языке существует истинное высказывание, которое нельзя доказать. В этом смысл неполноты. Дальше вопрос уходит немножко в сторону философии, т. е. если высказывание очень важное, то нужно расширять аксиоматическую базу, либо ждать, когда теорему докажут (как это случилось Большой теоремой Ферма или теоремой Пуанкаре).

тебя какая из двух интересует Теорема Гёделя о неполноте
Теорема Гёделя о полноте

А что, ВТФ уже доказана? Однако...