Як довести теорему про серединний перпендикуляр?

Теорема 1. Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим на плоскости.
Больше того,
Теорема 1.1. Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, параллельным этой плоскости.
Например, прямая АВ, перпендикулярная к плоскости Р в точке А, перпендикулярна ко всякой прямой D, параллельной этой плоскости. Действительно, через точку А проходит прямая АС, параллельная прямой D и лежащая в плоскости Р; угол ВАС, которым измеряется угол между прямыми АВ и D, будет, по определению, прямым.
Обратно,
Теорема 1.2. Если прямая перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она не может быть параллельной этой плоскости следовательно, она пересекает плоскость и потому к ней перпендикулярна.
Из определения прямой, перпендикулярной к плоскости, непосредственно вытекают ещё такие следствия°:
Теорема 1.3. Плоскость Р, перпендикулярная к некоторой прямой, перпендикулярна ко всякой прямой, параллельной этой прямой; действительно, любая прямая плоскости Р, будучи перпендикулярна к первой прямой, перпендикулярна и ко второй.
Теорема 1.4. Прямая D, перпендикулярная к плоскости Р, перпендикулярна ко всякой плоскости, параллельной этой плоскости; действительно, любая прямая, лежащая в последней плоскости, параллельна плоскости Р и потому перпендикулярна к D.
Возможность найти взаимно перпендикулярные прямую и плоскость вытекает из следующей теоремы:
Теорема 2. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек В и B1, есть плоскость, перпендикулярная к прямой ВВ1 и проходящая через середину отрезка ВВ1.
Доказательство. Пусть точка А - середина отрезка ВВ1. Точки искомого геометрического места, лежащие в какой-либо плоскости, проходящей через прямую BB1 (черт. 16), лежат на перпендикуляре к прямой BB1 проведённом в этой плоскости через точку А. Следовательно, искомое геометрическое место точек образовано всеми этими перпендикулярами. Если С и С'- две точки искомого геометрического места (черт. 17), то треугольники ВСС' и В1СС' равны, как имеющие по три соответственно равные стороны (ВС = В1С; BC' = B1C'; сторона СС' - общая) . Совместим эти треугольники и обозначим через С" какую-либо точку прямой СС'. Если каждая из точек С и С' остаётся общей вершиной обоих треугольников и вершина В1 совпадает с вершиной В, то B1С" совпадает с ВС"; следовательно, В1С" = ВС".
Итак, любая точка С" прямой СС' принадлежит искомому геометрическому месту. Искомое геометрическое место обладает тем свойством, что любая прямая, соединяющая две его точки, целиком принадлежит этому геометрическому месту; искомое геометрическое место содержит три точки, не лежащие на одной прямой, и, с другой стороны, в пространстве существуют точки (например В) , к нему не принадлежащие. Отсюда следует, что искомое геометрическое место есть плоскость и эта плоскость, очевидно, перпендикулярна к прямой BB1 в точке А.
Примечание. Точки пространства, более близкие к точке В, чем к точке В1, лежат от найденного геометрического места по ту же сторону, как и точка В.
Действительно, в какой-либо плоскости, проходящей через BВ1, например в плоскости BВ1С, точки, лежащие ближе к точке В, чем к точке B1, расположены относительно прямой АС в той полуплоскости, которая содержит точку В.
Полностью

спасибо очень помогло