Возведение квадратного уравнения. Теорема Виета

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q
Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 × 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Обратная Теорема Виета. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.

Теорема Виета применяется для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Рассмотрим систему уравнений x+y=5
xy=6 Если допустить, что x и y – корни некоторого
приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем x=3
y=2 и
x=2
y=3 .

Соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2 x21+x22=p2−2q;
x31+x32=(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)x31+x32=−p(p2−3q)

Элементарная задача.
Уравнение общего вида ax²+bx+c=0 нужно разделить на a.
Из получившегося выражения x²+px+q выделить полный квадрат и приравнять к нулю.
Дальше корни сами найдутся.
Либо представить это выражение как произведение (x-x1)(x-x2), где x1 и x2 - корни, и определить коэффициенты p и q.

Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.

Доказательство. Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:

x1 + x2 = –p

x1 x2 = q