на какое максимальное число частей могут разбить плоскость 2008 прямых?

Если добавлять прямые по одной, то каждая следующая n+1-я прямая может пересечься максимум с n прямыми. То бишь наша прямая поделится при этом на n+1 отрезок. И каждый отрезок делит уже существующую часть пополам, "превращая" её в две части. То есть частей становится на n+1 больше. А изначально (когда прямых не было) была 1 часть - сама плоскость.
Таким образом, максимальное число частей составляет:
1 + сумма для n=1 по N ( n ) = 1 + N*(N+1)/2.
Для N = 2008 получим 1 + 2008*2009/2 = 2 017 037

На 2 в 2008 степени частей. Если среди них НЕТ параллельных прямых.

Если есть паралельные то меньше, конечно :)

Ответ: на 2017037 частей
Решение:
к прямых разбивают плоскость самое большее на р = к*(к+1)/2+1 частей.
Док-тво:
Для к = 2 имеем р = 2*(2+1)/2 + 1 = 4, т. е. формула верна.
Если даны к прямых, разбивающие плоскость на р частей, то к+1-я прямая может пересечь данные к прямых только не более чем в к точках и образовать не более к новых частей плоскости. Проверяем: р1 = р +к = к*(к+1)/2 +1 +к = (к+1)(к+2)/2 + 1, т. е. условие индукции выполнено, ч. т. д.
Получаем р = 2008*2009/2 + 1 = 2017037 частей

на бесконечное множество частей