Как проводится вычисление площади треугольника через определитель.

Интересный вопрос.
Площадь не зависит от самих координат точек, а зависит от того, как соседние точки удалены друг от друга по вертикали и горизонтали. То есть при вычислении надо использовать не координаты точек, а именно разности координат.
Как вы эти разности получите, вычитая матрицы координат точек, это другой вопрос, он касается операций с вычетами матриц, то есть с матрицами уменьшенного ранга.

Конкретно составляется матрица 2х2 разностей координат точек на плоскости находим её определитель, отбрасываем его знак и делим на 2.

S= 1/2 |det(A) |

A=
| (x1-x3) (y1-y3) |
( (|x2-x3) (y2-y3) |

Как видим, если центром координат выбрана третья точка, то матрица состоит их координат двух остальных точек. Это и позволяет понять, как используются сами координаты точек
Таким образом надо составить матрицу всех трёх точек, состоящую из трёх векторов и вычесть из неё матрицу, состоящую из трех векторов третьей точки. Так мы переходим в систему координат относительно третьей точки.
В результате одна строка станет нулевой и надо уменьшить ранг матрицы на 1, чтобы получить квадратную матрицу, для которой можно вычислить ненулевой определитель

Составляются 2 вектора, на которых сидят 2 стороны, берётся векторное произведение, равное определителю
i___j___k
x1 y1 z1
x2 y2 x2

считается, получается вектор ai+bj+ck, его длина корень(a^2+b^2+c^2) будет равна двум площадям нужного тебе треугольника

можно и через координаты выразить. для треугольника с координатами вершин (0,0,0) (x1,x2,x3) (y1,y2,y3) удвоенная площадь равна

выражение под корнем можно также записать как