Когда московия была под Батыем, то группы монголов посещали города и села просто как туристы для развлечений ?

Нет. Ежегодно ко двору каждого князя приезжал баскак (посланник хана) с вооруженной свитой, чтобы получить дань. Если князь не мог выплатить установленную ему дань, недоимку взыскивали напрямую с подданных, начиная с самых богатых -- сначала с бояр, потом с купцов, потом с посадских, и в последнюю очередь с крестьян.

Позднее функции сбора дани были отданы на откуп московским князьям. Московский князь платил в Орду дань за все подведомственные княжества и одновременно с этим собирал ее с этих княжеств. Если какое-то княжество отказывалось платить дань, московский князь либо выбивал ее своими силами, либо просил ордынского хана прислать ему на помощь вооруженный контингент.

Московия - название Русского государства с XV до начала XVIII века.
А нашествие Батыя подразделяется на 2 периода: первый (1237—1238) и второй (1239—1241). В это время Московии еще не было.
Во время первого похода разорены Рязанское и Владимиро-Суздальское княжества, пограничные районы Новгородской республики, Смоленского и Чернигово-Северского княжеств, а во «второй поход» объединяют три отдельных вторжения в южнорусские земли: разорение Переяславского княжества весной 1239 года, разорение Чернигово-Северского княжества осенью 1239 года и разорение Киева и юго-западной Руси с осени 1240 по весну 1241 года.

На Руси НИКОГДА не было ни одного монгола, поменьше худ. книжек да фильмов про эти сказки смотрите.

Слово московия в русской истории не встречается. Его использовали только иностранцы .
Батый со своим войском разгромил множество русских городов, потом пошел воевать в Венгрию.

Когда Россия стала царством, тогда никаких Батыев с монголами уже не было