Первые больницы, о которых есть и письменные свидетельства современников, и археологические данные -- древнегреческие асклепионы. Асклепион (альтернативное написание -- "асклепейон") исполнял три функции -- он был храмом полубога-целителя Асклепия, больницей и учебным центром. Гиппократ, например, сначала учился, потом практиковал в асклепионе на острове Кос (то есть этот асклепион существовал и до Гиппократа, а Гиппократ родился примерно в 460 году до этой вашей эры). Гален, прежде чем стать придворным врачом императора Марка Аврелия, учился и практиковал в асклепионе в Пергаме (пергамский асклепион был основан в четвертом веке до этой вашей эры). Развалины обоих этих асклепионов стоят до сих пор. На фото ниже -- развалины асклепиона на острове Кос.
Другой известный асклепион находился в Эпидавре. Он был основан не позднее шестого века до этой вашей эры. В его руинах (которые опять-таки стоят до сих пор) были найдены три мраморные доски, датируемые примерно 350 годом до этой вашей эры, с описаниями примерно 70 клинических случаев, включая по крайней мере две операции, выполненные под наркозом (абсцесс брюшной полости и удаление травматического инородного объекта).
История того или иного асклепиона -- предмет узкоспециального интереса. Поэтому гуглите статьи в исторических журналах и будьте готовы к тому, что они будут на нерусском языке...
Насчет античной медицины в целом, у Керриера (Richard Carrier, "The Scientist in the Early Roman Empire") есть глава о становлении научной медицины в античности с кучей отсылок к другим публикациям...
