Прием такой: использую силу тяжести! Поворачиваю горшочек с кактусом (над столом, конечно, чтоб не упал! ) набок, и сухой ком земли - а перед пересадкой почва в горшке должна хорошо подсохнуть! - начинает сам отставать от стенок и потихоньку выдвигаться из горшка, а кактус - мееедленно выскальзывать на стол.
Тогда становится можно взять кактус за верх корневого кома, за корневую шейку или за низ стебля, где колючек обычно мало и они не такие агрессивные.
Посмотрите, какой кактус я пересадила весной по описанной технологии - целую шапку из побегов долихотеле, и тоже практически не уколовшись! Часть оставила себе, остальное раздала знакомым:

Корни кактусов распутать и освободить друг от друга - нетрудно, если почва сухая, но дело это кропотливое. Его очень удобно делать деревянной зубочисткой. Корни травмируются минимально. Все рассаженные таким образом мои кактусы чувствуют себя хорошо, а распутанные корни идут в рост.
Постарайтесь не повредить кожицу острием зубочистки. Не применяйте силу, разъединяя кактусы. Если кактус получит повреждение, может прицепиться инфекция (гниль) . В таком случае, сажая его, не засыпайте землей ранку, оставьте ее на воздухе. Можно перед посадкой обработать это место зеленкой. В дальнейшем при поливе не допускайте попадания туда воды.
При посадке не поливайте и подождите с этим дня три-четыре, чтобы подсохли все микротравмы, которые обязательно получат растения.
Уверена, что и у Вас все получится!
Главное - никуда не торопиться, все делать спокойно и внимательно. Удачи!