Как правильно и осторожно сохранить эти новые побеги, прошу Вас, пожалуйста, поподробнее мне подсказать?

Это не побеги, это детки.
Можно оставить, будет прикольно, а можно осторожно раскачать влево-вправо, потом аккуратно срезать острой бритвой вдоль стебля цветоноса (с маленьким кусочком коры стебля!), обработать места срезов толченым активированным углем (и на детках и на стебле цветоноса), подсушить в течение полусуток, а затем пересадить в горшок с субстратом (продаются готовые в цветочных магазинах). Небольшой прозрачный пластиковый хорошо вентилируемый горшок, можно сразу использовать горшок типа "корона мини" (найдете в Интернете, если будет интересно...).
Если собираетесь отсаживать, то уже пора, корни имеют достаточную длину. Вырастут длиннее, будет сложнее пересаживать.
Подробнейшее видео пересадки детки здесь: youtube.com/watch?v=2lk6VziRLEQ - скопируй в строку браузера.
Там все рассказано: что надо, как, когда, куда, зачем, почему и так далее...
Главное при подготовке и пересадке - аккуратнее с корнями, очень ломкие!
А если ВООБЩЕ - то ничего сложного. И еще раз повторю: МОЖНО И ОСТАВИТЬ ТАК КАК ЕСТЬ,

в природе орхидеи так и растут на деревьях! попробуйте подставить вертикальную опру в виде коры дерева...

Я пересаживала такие орхидеи уже с цветочной стрелкой. Просто отрезала сформированную розетку со стрелки как можно ближе к розетке и посадила в специальный грунт из коры, угля и мха-сфагнума. Прижились обе и потом зацвели.

Удивительная орхидея.
Как Вам удалось такого эффекта достичь?
Как будете рассаживать?