как избежать обязательной 2-х недельной отработки после написания увольнительного заявления? И чем это чревато?

Начнем с того, что не "отработка", а предупреждение.
ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Идеальный вариант, если работодатель не идет Вам на встречу, оформить больничный лист.

заболеть...

Не ходить на отработку и все)
А чревато тем, что Вам не отдадут трудовую книжку. В таком случае Вы обращаетесь в суд, суд тянется месяца два. Восстанавливаетесь на работе, Вам выдают зряплату за это время. Уходите на больничный на месяцок. Потом пишите "по собственному". И ...понеслось заново!

Вариантов три:
1. Если остался отпуск, то уйти в него
2. Договориться с начальством
3. Взять больничный

уйти в отпуск, и из отпуска не выходить, есть статьи ТК по которым можно не отрабатывать 2 недели