Работал водителем без оформления по ТК, а сейчас везде требуется стаж по трудовой. Как разорвать этот замкнутый круг?

Можно договориться с предыдущим работодателем и запросить у него рекомендательное письмо.
Это письмо можно предъявить новому работодателю.
Опять же ваша цель - составить грамотное резюме и попасть на собеседование к работодателю.
В резюме следует указать, что Вы работали и у Вас есть рекомендации.

На собеседовании стоит сказать, что Вы работали, но не были оформлены. Такая практика часто применяется и работодатели об этом знают. Вы можете дать контакты людей с предыдущего места работы, которые могут дать Вам рекомендации по телефону. С такими людьми нужно заранее договориться и предупредить о возможном звонке, чтобы
не испугались и подтвердили факт Вашей работы.

Подделывать что-то не советую. Это к добру не приведет, а только усугубит ситуацию.
Во первых - стаж проверяется по отчислениям в фонды,
Во вторых - могут уволить, т. к. подложный документ (п. 11 ст. 81 ТК РФ) — основание для увольнения.
В третьих - это уголовно наказуемо - статья 327 УК РФ за использование заведомо подложного документа предусматривает наказание.

А от себя добавлю, что грамотный работодатель в первую очередь смотрит на качества сотрудника и на его навыки, а потом уже на бумажки, стаж и т. д. В ситуации с Вами Ваших слов, подкрепленных рекомендациями от работодателя или рекомендательным письмом вполне достаточно. Главное не бояться и чувствовать себя уверенно.
Удачи!!

Устроится официально или зарегистрироваться как ИП. любые подделки трудовой всплывут, так как одной записи в трудовой мало. Сведения о работающих подаются в пенсионный фонд.

Подделай трудовую

Трудовую проверяют по компу, так что левые записи не помогут, т. к. по ним ещё и не платились налоги государству. Если, конечно, фирмочка небольшая, то могут не проверить, а поверить записи в трудовой. А запись эту сделает любой товарищ с печатью ЧП.