если я хочу уволиться, обязательно ли увольняться с первого числа нового месяца? Или можно уволиться с любого числа?

уволиться можно в любой момент. но по закону обязан отработать две календарных недели со дня подачи заявления

Уволиться можно с любого числа, НО.. .
1) если у вас на работе практикуется выплата ежемесяных премий, составляющих довольно высокий % от оклада, то лучше дождаться начисления этой премии, прежде чем уволиться. Начисление выпадает на конец месяца (где-то 29-30 чила) .
2) Будет очень обидно, если до получения компенсации за неиспользованный отпуск вам не хватит 1-2-х дней, чтобы зачли месяц увольнения как полный месяц. Из этих соображений следует выбрать дату увольнения так, чтобы вы отработали в данном месяце больше половины рабочих дней (месяц считается не календарный, а с даты устройства на работу) . Так вы получите оплату ещё за 2,33 рабочих дня при условии, что у вас отпуск 28 дней.
3) Если в ближайшее время у вас отпуск, то лучше дождаться его и подать заявление будучи в отпуске, чтобы вам всё начислили и успели выплатить до того, как узнают о вашем увольнении (придётся предупреждать за 2 недели) . А то довольно часто начисленые премии в случаи увольнения не выплачивают.

С любого. Но работодатель может затребовать отработку до двух недель (может и не затребовать, но право имеет).

с любого конечно, но две недели придется отработать, хотя если договоритесь с начальством возможно и без них обойтись

с любого дня

вы можете уволится в любой день недели написав писменное заявление начальнику