Имеет ли право заведующая понизить в должности?

В принципе, в связи с "производственной необходимостью" работодатель имеет право на подобную перестановку кадров. Ведь детям нужен постоянный воспитатель, и им нет дела до того, по какой причине Вы отсутствуете на работе. И если детсад частный (не муниципальный) - то заведующая легко может взять на Ваше место другого работника, с которым не будет подобных проблем.
НО для защиты Ваших интересов существует профком (если Вы член профсоюза) , а если сад муниципальный - то можно обратиться в РОНО. И сходите к грамотному юристу, узнайте о своих правах в подобной ситуации. Ваша заведующая, видимо, забыла, как сама сидела с ребёнком на больничных. Или у неё нет своих детей?

Уволить вас за то, что вы часто сидите на больничном заведующая конечно права не имеет . Но не пробовали ли вы лечить своего ребёнка и принимать вовремя профилактические меры дабы он не болел? Ведь частые болезни не только и не столько ослабляют организм ребёнка, как приучают его к лени .
А если ребенок ваш действительно серьёзно болен то тут уж вы должны выбрать из двух зол наименьшее . И ребёнку помочь и на работе сохранить своё лицо . Просто так такие слова сотруднику не говорятся . Надо понимать что работаете вы не со станками, которые можно отключить от сети и уйти, а с детьми которые также как и ваш ребёнок ждут от вас любви и внимания .
Своим частым отсутствием на работе вы лишаете внимания ещё и тех детей матери которых вас заменяют ..

права такого она не имеет.

единственный нюанс - только при вашем согласии.

но вы ведь знаете, как легко руководитель может отравить жизнь подчиненному, и по просьбе трудящегося вы сами согласитесь на эту должность.

так что ситуация у вас патовая - то ли воевать, находясь в постоянной конфронтации и под прессингом, что может дойти до того, что сами будете рады уволиться, то ли согласитесь решить это дело полюбовно - с вашего согласия.

Нет, не имеет. А если и попытается, то должна письменно обосновать Ваш перевод. Не думаю, что она будет указывать причину Ваши частые больничные. Закон на Вашей стороне. Обращаться надо в инспекцию по труду.