Возможно ли уволиться без положенной отработки?

Можно! Надо правильно заявление написать и указать уважительную причину!
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем законов и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Таким образом, главным критерием увольнения без отработки является невозможность работника продолжать работу по определенным обстоятельствам. Перечень этих случаев, приведенных в ст. 80 ТК РФ, не является исчерпывающим и поэтому вопрос должен решаться в каждом конкретном случае индивидуально
Например в связи с переходом на другое место работы- приложите приказ с нового места

на больничный на 2 недели, как делают все люди. (ст. 80 ТК РФ)
в это время можно уже и работать на новом месте...

не менее чем за две недели до увольнения пишешь заявление и уволишься в указанный срок. Если уже приспичило уволиться, то на усмотрение работодателя - может и не заставит работать

В Трудовом законодательстве вообще нет понятия отработка!
Согласно ст. 80 ТК РФ вы должны письменно ПРЕДУПРЕДИТЬ работодателя о своем желании уволиться не позднее чем за две недели. Если работодатель в вас не нуждается, то может расторгнуть трудовой договор и до истечения срока предупреждения. Также в части 3 ст. 80 ТК РФ определенны случаи когда увольнение должно быть в срок указанный работником.

Статья 80 Трудового кодекса РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

Как вы видите работодатель не обязан увольнять Вас в день, когда вы написали заявление.

Возможно, по соглашению с начальством!!!

Возможно. Все зависит от начальства.