Работник отсутствовал на работе без уважительной причины 2 дня, затем написал заявление на отпуск без сохранения,

имеете право (но не обязаны) его уволить за прогул (пп. А п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ) . только сначала пусть напишет объяснение (ст. 193 ТК РФ)

Вы можете этот факт официально зафиксировать, как прогул, но при этом поговорить с человеком-может быть у него действительно так все было сложно. Если он просто требует оформить его прогулы-можете для начала ему выговор вынести, а за повторный-уволить.

всё зависит от начальства может прогулы поставить может уволить по 33 смотря как вы себя зарекомендовали на работе

Конечно рукововдитель может не принять заявление, написанное задним числом.
Прогулы надо оформлять с первого дня - составить служебную записку от непосредственного (линейного) руководителя прогульщика, а также акт о прогуле. И так на каждый день.

Если нет действительно уважительных причин то Вам надлежит оформить факт отсутствия следующим образом: Докладная непосредственного руководителя отутствующего Работника об отсутствиии его на рабочем месте. (дата докладной - 1 день отсутствия) В тот же день Акт об отсутствии на рабочем месте. Те же документы и во второй день отсутствия.
Когда появился на работе затребовать с него объяснительную. Обращаю внимание что срок для написания объяснительной составляет два рабочих дня. Если объянительной не поступит в отведеный срок Акт об отказе дачи объяснтельной составляется только после истечения вышеуказанного срока. Ну и в завершении приказ о дисциплинарке (замечание, выговор, увольнение)
Что касается заявления работника на отпуск
Заявление написанное по окончанию события не может быть удовлетворено, НО если конечно будет установлено наличие уважительных причин отсутствия работника о которых он не мог НИКАК сообщить заблаговременно, то полагаю Работодателю надлежит пойти на встречу Работнику.

Если человек более 4 часов отсутствует на рабочем месте без уважительной причины имеете право его уволить.

В данном случае работодатель имеет полное право не примать такое заявление, да ещё и написанное задним числом. Вам нужно было зафиксировать прогулы, потребовать объяснительную от работника об этих двух днях и применить дисциплинарное взыскание ст. 192,193 ТК РФ

веселый парень.
уволь нафик.

Порядок применения дисциплинарных взысканий предусмотрен ст. 193 ТК РФ если что-то сделать с нарушнием, то работник имеет право подасть суд на восстановление и таком случае его вряд ли восстановят но оплата времени вынужденного простоя будет считаться не со дней прогула, а со дня издания приказа.
Поищите Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2 много полезного для себя подчерпнете!

ситуация на усмотрение работодателя, прогул 2 дня-грубое нарушение дисциплинарное взыскание-увольнение ст 81 ТКРФ, дисциплинарные взыскания ст 192-195ТК
1.Составляется акт о том, что не был на работе с подписью 3 работников -свидетелей
2.ознакомить работника под подпись с актом (если отказался опять подписи свидетелей о том что отказался)
3. берется объянительная с прогулявшего работника
4. издается приказ
5. ознакомление с приказом
6 увольнение и выдача трудовой-(где на усмотрение работодателя указывается причина увольнения или по собственному желанию)