Очень срочно

При увольнении по соглашению сторон, бывший работник потом не сможет опротестовать увольнение в Суде, а при увольнении по собсьвенному желанию - может.
Вот поэтому руководство банка и подстраховывается.

Увольнение по соглашению сторон - форма более выгодная для работника, нежели для работодателя. Пусть соглашается.

Работодатель не должен подписывать заявление работника, такой обязанности у него нет. А вот расторгнуть договор через 14 дней с даты получения такого заявления, произвести с работником расчет и выдать ему трудовую - это да.
Твоей знакомой следует, для начала, обзавестись доказательством того, что заявление об увольнении было вручено ей работодателю (отметка на заявлении, почтовое уведомление о вручении заявления и т. д.) . Далее ей следует, например, взять больничный и приурочить его окончание к последнему дню работы. А если она настроена более решительно, пусть подаст жалобу на действия работодателя в инспекцию по труду.

Срочно в номер? телеграмма - молния?

С точки зрения закона увольнение по соглашению сторон ничуть не хуже увольнения по собственному желанию, я не очень понимаю а в чем собственно заключается проблема? Если условия соглашения вашу знакомую устраивают, пусть увольняется по соглашению (условия естественно должны быть зафиксированы письменно в том самом соглашении) . Если условия ее не устраивают, и она намерена уволиться по собственному желанию, то зачем ей подпись кого бы то ни было? Работник обязан письменно уведомить работодателя об увольнении по собственному желанию не позднее чем за две недели до даты увольнения, все что должна сделать ваша знакомая это под отметку о получении сдать секретарю (либо иному лицу ответственному за получение корреспонденции) письменное заявление об увольнении, и через две недели можно спокойно не ходить на работу, ее обязаны уволить (не имеют права отказать) при этом в день увольнения должен быть выплачен полный расчет и выдана на руки трудовая книжка, если что-то будет не так пусть пишет жалобу в прокуратуру.