При увольнении работодатель должен ли выплачивать пособие по увольнению? И в течении какого времени?

только при сокращении штата, а так только не выплаченную заработную плату, и за неиспользованный отпуск.

Если вы увольняетесь по собственному желанию, то только компенсацию за неиспользованный отпуск - по 2,33 дня за каждый месяц отработанный (если месяц отработан не полностью, то всё что меньше 15 не считается а свыше 15 дней считаются как полный месяц).

да, если имеются соответствующие статье 178 тк рф обстоятельства. . http://www.consultant.ru/popular/tkrf/14_35.html#p2568

Увольняемым работникам необходимо выплатить выходное пособие в размере среднемесячного заработка в момент увольнения, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия) (ст. 78 ТК РФ).

Такого пособия нет.
Есть выходное пособие и компенсация за неиспользованный отпуск.

Пособие выплачивают по сокрощению, а по собственному желанию только за неиспользованные дни отпуска.

Если у Вас оформлен трудовой договор не срочный до 2-х месяцев (просто приняты на работу, поработали, решили уволиться) , то при увольнении по собственному желанию обязаны выплатить з/плату за отработанные дни в месяце и компенсацию за неиспользованный отпуск из расчета 2,33 дня за месяц работы. Стаж работы для начисления компенсации считается периодом (а не календ. месяцем) , если получается полный месяц плюс неполный, то отработанная половина месяца и больше округляется до полного месяца, менее половины, к сожалению, отбрасывается. Посмотрите, как у Вас - увольтесь чуть позже (чтобы округлить до месяца) . Например, приняты 04.05.2010, то увольняйтесь либо на днях, либо дотяните до округления (например, после 20.07.2010 - будет еще компенсация за третий месяц) . Хотела Вам предложить увольнение по соглашению сторон с выплатой какого-н выходного пособия (возможно, это у Вас прописано в коллективном договоре или даже в Вашем трудовом) , но похоже, что это не пройдет... слишком мало Вы поработали и я так поняла, увольняетесь по собственному желанию. Выплаты выходного пособия в размере средней месячной з/п плюс на период трудоустройства - только при сокращении (ликвидации) - это к ответу комментатора Марины Анатольевны чуть выше.
Если у Вас оформлен срочный тр. договор - до 2-х месяцев, то компенсация за неисп. отпуск считается из расчета 2 дня за месяц.

да, если вас сокращают

работодатель обязан выплачивать компенсацию за неиспользованный отпуск. Если Вы предупредили работодателя за 2 недели до увольнения, то все выплаты производятся в последний рабочий день.