В каком случае я могу не отрабатывать две недели в связи с увольнением по собственному желанию?

А нет в ТК РФ такого понятия как отрабатывать.
Согласно ст. 80 ТК РФ работник должен письменно ПРЕДУПРЕДИТЬ работодателя о своем желании уволиться не позднее чем ЗА ДВЕ НЕДЕЛИ, т. е. подать заявление об увольнении. Так что не выход на работу после подачи заявления не что иное как прогул.
Отказать в увольнении по собственному желанию не имеет право, т. к. согласно той же ст. 80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор. А также принудительный труд запрещен ст. 4 ТК РФ.
Уволиться до истечения срока предупреждения можно по соглашению с работодателем.

Вы можете не отрабатывать по договорённости с администрацией в случае, если не брали в долг отпуск, или если сразу же приведёте специалиста на своё место. Это по опыту работы. По трудовому законодательству - почитайте трудовой кодекс. Этот срок - две недели - нужен администрации, чтобы принять нового работника, а работнику - чтобы уберечь его от необдуманного шага. Часто работники забирают заявления об увольнении в этот 2-х-недельный срок и продолжают работать.

Например, написать в формулировке заявления "В связи с необходимостью ухода за ребенком в возрасте до 14 лет" В этом случае Вас ОБЯЗАНЫ уволить с той даты, которую вы укажите в заявлении.

Откажетесь отрабатывать - чистейшие прогулы.
Можно написать заявление на увольнение по собственному желанию в связи с переездом. Обязаны уволить в ближайшие дни.

Если ваш работодатель на это согласится.
Конечно, будет. Это не ваше право, а ваша обязанность.

если у начальника на Ваше место есть желающие. И тогда он вас с УДОВОЛЬСТВИЕМ отпускает. А иначе -прогул...

Отказ в виде невыхода на работу, без согласия руководителя это прогул.
Но, ваша обязанность заключается в ПРЕДУПРЕЖДЕНИИ за 14 дней. Т. е. предупредили в установленном порядке, ушли в отпуск/взяли больничный на эти 14 дней, и приходите за трудовой книжкой и расчетом.

нет такого понятия - двухнедельная отработка, Работник должен предупредить работодателя об увольнении за две недели. Вот откуда берется этот срок. А по соглашению сторон, работодатель может уволить работника узнав о его желании ранее чем по истечению данных двух недель. Так же данный срок сокращяется при увольнении Работника по уважительной причине, переезд, учеба и т. д. Ну а если вы просто в гневе написали заявление.. и после этого не явились на работу... прогул)) И увольнение по статье

Или в связи со срочным выездом из города. Но для этого нужны подтверждающие документы.

По согласованию