можно ли заключить трудовой (не срочный) договор на период очередного отпуска работника. Или он должен быть "срочным"?

Он в любом случае будет срочным - так как берут на временную ставку, а не постоянную.

Хотя вообще-то как правило обязанности того кто в отпуске передаются одному из работников.

Статья 59. Срочный трудовой договор
Срочный трудовой договор заключается:
на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;
на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;
для выполнения сезонных работ, когда в силу природных условий работа может производиться только в течение определенного периода (сезона) ;
с лицами, направляемыми на работу за границу;
для проведения работ, выходящих за рамки обычной деятельности работодателя (реконструкция, монтажные, пусконаладочные и другие работы) , а также работ, связанных с заведомо временным (до одного года) расширением производства или объема оказываемых услуг
с лицами, поступающими на работу в организации, созданные на заведомо определенный период или для выполнения заведомо определенной работы;
с лицами, принимаемыми для выполнения заведомо определенной работы в случаях, когда ее завершение не может быть определено конкретной датой;
для выполнения работ, непосредственно связанных со стажировкой и с профессиональным обучением работника;
в случаях избрания на определенный срок в состав выборного органа или на выборную должность на оплачиваемую работу, а также поступления на работу, связанную с непосредственным обеспечением деятельности членов избираемых органов или должностных лиц в органах государственной власти и органах местного самоуправления, в политических партиях и других общественных объединениях;
с лицами, направленными органами службы занятости населения на работы временного характера и общественные работы;
с гражданами, направленными для прохождения альтернативной гражданской службы;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.
По соглашению сторон срочный трудовой договор может заключаться:
с лицами, поступающими на работу к работодателям - субъектам малого предпринимательства (включая индивидуальных предпринимателей) , численность работников которых не превышает 35 человек (в сфере розничной торговли и бытового обслуживания - 20 человек) ;
с поступающими на работу пенсионерами по возрасту, а также с лицами, которым по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, разрешена работа исключительно временного характера;
с лицами, поступающими на работу в организации, расположенные в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, если это связано с переездом к месту работы;
для проведения неотложных работ по предотвращению катастроф, аварий, несчастных случаев, эпидемий, эпизоотий, а также для устранения последствий указанных и других чрезвычайных обстоятельств;

с лицами, избранными по конкурсу на замещение соответствующей должности, проведенному в порядке, установленном трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права;
с творческими работниками средств массовой информации, организаций кинематографии, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иными лицами, участвующими в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений;
(в ред. Федерального закона от 28.02.2008 N 13-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
с руководителями, заместителями руководителей и главными бухгалтерами организаций, независимо от их организационно-правовых форм и форм собственности;
с лицами, обучающимися по очной форме обучения;
с лицами, поступающими на работу по совместительству;
в других случаях, предусмот

если вы принимаете человека со стороны - срочный договор. если это просто замещение на время отпуска, то можно просто приказ оформить и все.

Вы же сами отвечаете на свой вопрос. Как можно принять работника на период очередного отпуска. Если примете не по срочному договору, тогда этот работник тоже будет постоянным работником. А Вам это надо? На одно место два человека.

Чтобы заключить не срочный ТД, нужно иметь свободную ставку в штатном расписнии, поэтому если вы принимаете на ставку человека, который в отпуске, иного выхода нет кроме как заключить срочный ТД,
Кроме того, заключив бессрочнй ТД вы рискуете потом тем, что не сможете уволить работнка после выхода отпускника.

ко срочный - ст. 59 ТК РФ.

Можно возложить временное исполнение обязанностей на другого работника с доплатой