Возможно ли выйти на другую работу на неполный рабочий день по трудовому договору без трудовой книжки?

Конечно, возможно и вполне официально. При приеме на работу по совместительству работник предъявляет паспорт, при необходимости - диплом либо иной документ об образовании или профессиональной подготовке. В отличие от ст. 65 ТК, требующей при поступлении на работу предъявлять документы об образовании в подлинниках, ст. 283 ТК допускает надлежаще заверенные копии.
Не предъявляется трудовая книжка, поскольку она находится по основному месту работы. Работодатели не ведут трудовые книжки на лиц, работающих у них по совместительству. Но по желанию работника по месту его основной работы в трудовую книжку могут быть внесены записи о работе по совместительств.
В силу действия норм ст. 256 Трудового кодекса РФ по заявлению женщины во время нахождения в отпуске по уходу за ребенком она может работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
Нормами ст. 93 ТК РФ установлено, что работа на условиях неполного рабочего времени не влечет каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.

да, вторая будет по совместительству! "! ТК такое позволяет

Да.

вохможно, лучше заключите договор подряда или оказания услуг там где вы хотите работать. так проще будет

сейчас все можно

для официального трудоустройства должны предоставить трудовую книжку, но если вы не будете офиц. устраиваться, то можно и без трудовой!! !
но есть второй вариант, можно предоставить другую, чистую трудовую книжку.