что мы можем сделать в этой ситуации?

С вами должны были заключить трудовой договор в течении 3 дней с момента допуска к работе, сперва найдите докозательства того что вы там работали (подписи в любых документах, видео записи камер, свидетельские показания и т. д) затем поговорите с начальником о том что подадите иск в суд, намекните на то что есть доки. думаю после этого вам все выплотят.
Статья 61. Вступление трудового договора в силу

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя.
Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе

А почему бы Вам не заключить трудовой договор тогда и проблем не будет.

Желание работать не противозаконно, так что обратитесь в прокуратуру.... и вашим работодателям порвут одно место на британский флаг....

Надо было конечно трудовой договор заключать. Без него всё сложно и могут обмануть

Я бы разобралась и поговорила с начальством. Если же они и так будут продолжать кормить обещаниями я бы ушла.