Обязуют взять отгул за свой счёт. Имеют ли право и как поступить?

Если бы вы не брали отгул, тогда работодатель должен был оплатить работу в праздничный день в двойном размере, а раз вы решили воспользоваться отгулом, то согласно ст. 153 ТК РФ, по желанию работника, работавшего в выходной или нерабочий праздничный день, ему может быть предоставлен другой день отдыха. В этом случае работа в нерабочий праздничный день оплачивается в одинарном размере, а день отдыха оплате не подлежит. Следовательно, если отгул взят за работу в выходной день, то его оплата производится в размере одинарной ставки.

не писать

При работе в выходной день предоставляется или двойная оплата, или же одинарная оплата и другой день отдыха. Таким образом если вам оплатят работу в выходной день и предоставят выходной, то выходной будет без оплаты, как обычный выходной, просто в другой день. Если же заплатят вдвойне, то о выходном придется забыть, вы его "продали". В данном случае если вам оплатят работу в выходной день по обычной ставке, то требовать оплаченный отгул вы не можете, так как это будет двойная оплата и выходной. Так что выбирайте-двойная оплата или обычная оплата и неоплаченный выходной.

Отгул не оплачивается.

Все можно узнать в трудовой инспекции.

по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы.

http://www.zakonrf.info/tk/128/
http://www.consultant.ru/popular/tkrf/14_25.html

Все правильно. За работу в праздничный день вам положена двойная оплата или оплата в одинарном размере и отгул, который не оплачивается. Так по закону. А надо ли вам это - это другой вопрос. Отгул или двойная оплата решает работник.