Вопрос по поводу больничного

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность) .
Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в общий и непрерывный трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения трудовой пенсии по старости) .
Думаю, может.

Нет, не может. Только за свой счет.

вам не дадут больничный в таком случае, потому что вы уже на больничном.

Конечно нет.
Если ребёнок здоров, то какойже могут выдать больничный по уходу за ним?
В описанной вами ситуации только два варианта:
1. Вы на работе прерываете отпуск по уходу за ребёнком, берёте больничный на себя (в этом случае вам будет оплачен больничный, но не будет за этот период выплачиваться пособие по уходу за ребёнком) , а отпуск по уходу за ребёнком на время вашей болезни оформляет муж или бабушка.
Когда вы выздоравливаете, то сдаёте на работу свой больничный и пишите заявление на отпуск по уходу за ребёнком.
2. Кто-то из родственников берёт отпуск без сохранения заработной платы и сидит с ребёнком пока вы не можете за ним ухаживать. При этом ваш больничный не будет оплачен.