Что сделать если оформлена на 2 работах сразу на постоянку?

Надежда, не переживайте. Порядок Ваших теперешних действий должен быть таким.
1. Пишете письмо тому работодателю, от которого увольняетесь, с заявлением об увольнении по собственному желанию. Письмо посылаете ЦЕННЫМ, так как Вам нужна опись вложения. В описи вложения ОБЯЗАТЕЛЬНО написать что Вы послали: заявление об увольнении; заявление об отправке ТК по почте; заявление о переводе причитающихся выплат почтовым переводом, заявление на выдачу справки 2-НДФЛ (чтобы увидеть, были ли у Вас начисления в этом году) . Еще, желательно, это же письмо сопроводить обратным уведомлением, чтобы Вы знали какого числа его получит работодатель. С этого числа и начнется отсчет двух недель вашей виртуальной "отработки" перед увольнением. Получается 1 письмо заказное с уведомлением и, оно же, ценное. Просто заказное нельзя, так как оно не имеет описи. Работодатель может сказать что Вы прислали пустой бланк.
2. Обратитесь в бухгалтерию по месту нынешней работы и скажите им чтобы они НЕ предоставляли Вам вычеты по НДФЛ. Если этого не сделать, у бух. будут проблемы и, соответственно, у Вас тоже. Вычеты Вам могут быть предоставлены ТОЛЬКО по основному месту работы. Пользоваться вычетами вновь Вы вправе только после увольнения с прошлой работы.
3. Так как Вас оформили официально, то Вам завели новую трудовую. И на этом месте работы стаж для больничного пошел исчисляться заново. Старую ТК, когда получите, храните для оформления пенсии или для дальнейшей работы по ней. Но не в этой организации уже. Для пенсионного фонда главное, чтобы стаж работы НЕ накладывался друг на друга. При наложении, одна из работ просто не войдет в стаж именно за период этой нахлестки. Все остальное в стаж спокойно войдет. Если Вы продолжите работать по новой ТК, то старую просто для пенсионного приберегите. В ПФ и по 5 ТК приносили. Не Вы первая.

Самая большая подлянка, конечно, для бухгалтера с НДФЛ. У нее к недоплате в бюджет будет. Так что, говорите, пусть с января Вам вычеты не ставят, срочно. Бух. поворчит, но это гораздо проще, чем потом всплывет.

Если будут вопросы - пишите в личку, отвечу дополнительно. Удачи на новом месте!

Отбивай телеграмму, и отправь заявлене об увольнении заказным письмом с уведомлением!! ! Они будут обязаны уволить и выслать трудовую если попросшь!!!! Инче предусмотрена ответственность за задержку в выдаче трудовой книжки

И ничего страшного, увольняйтесь правильно, напишите заявление на увольнение и отправьте его заказным письмом с уведомлением и с описью вложения. В письме напишите, что просите трудовую книжку выслать по почте. А на новой работе пока работайте по временному договору, а потом оформят постоянно.

А где трудовая книжка?
Там - далеко?
Пишите заявление в далекое место "Прошу уволить МЕСЯЦ НАЗАД по собственному желанию в связи с переездом"
Одновременно просите выслать трудовую книжку по новому адресу.
Без трудовой книжки на новом месте работы не могли оформить, а если и оформили, то каким-нибудь "левым" способом, например завели НОВУЮ трудовую книжку. . Когда появится у вас СТАРАЯ ТрКн - надо сделать запись о приеме на новую работу.

Ну и что?

что значит уволюсь через письмо? вы в здравом уме? а в приказе об увольнении кто будет рассписываться? почт. Печкин?
уволить по доверенности это что то новенькое

А интересно, как это Вас взяли на постоянку на втором месте работы не имея вашей трудовой книжки. Ведь при заключении тр. договора она нужна. Отсюда вывод- либо Вас взяли "неофициально" , либо Вы предоставили новую трудовую. Т. е. или Вы создали головную боль работодателю, или он - Вам.