Могу ли я претендовать на отгулы в данной ситуации. Если да, то как это грамотно сделать.

Согласно ст. 60.2 Трудового кодекса РФ с письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по аналогичной должности.
В соответствии со ст. 151 ТК РФ при расширении зон обслуживания, увеличении объема работы или исполнении обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику производится доплата.
Размер доплаты по общему правилу устанавливается соглашением сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы.
При этом отметим, что трудовое законодательство не устанавливает никаких ограничений в отношении размеров доплаты.
Исходя из изложенного, возложить на работника обязанности временно отсутствующего работника без доплаты работодатель не вправе. Размер доплаты должен быть определен и указан в соглашении сторон трудового договора.

прежде чем соглашаться выполнять (на таких условиях) вышеперечисленную работу нужно бы было потребовать создание приказа о её оплате или чтобы в данном приказе был прописан порядок компенсации - то ест предоставлении вам дополнительного отпуска за ране отработанное время в вашем случаи отгулов. но вы этого не сделали а после боя руками не машут. единственное это пусть ваш начальник напишет письменный рапорт на имя директора на ваше поощрение.... но даже вам стало смешно от этого ибо кто будет добровольно рубит сук на котором сам сидит.

Если где-то в недрах бумаг отдела кадров или что там у Вас отражена такая героическая работа, то будет проще. Если был приказ о замещении или что-то вроде этого.
А грамотно сделать, если нач-к не жлоб, то даст отгулы, если наоборот-то даст минимум

Да грамотно никак не сделать. Чтоб было грамотно, нужен приказ, в котором говорится, что "в связи с производств. необходимостью приказываю.... " А так - только договариваться и полагаться на "чистоплотность и порядочность" начальника (директора) . А это черты характера с такими должностями не дружат. Я не верю, что денег на выплату премии небыло. Себе бы этот директор нашёл бы.

не работайте за 4 человека.. . а за 1 надо, нужно уметь сказать нет.. . а то сядут на шею.... крайности всегда не очень хорошо. . а то будете инвалид в 40 лет никому не нужный.. .
вам нужно к психологу...