Что делать, если сотрудники "часто болеют" без больничного листа?

Предложите работнику оформить отпуск без сохранения заработной платы. Если на работу не выйдет без оформления заявления, требуйте объяснительную и привлекайте к дисциплинарной ответственности в соответствии со ст. 193 ТК РФ.

А никого и пугать не надо! Да и Вы видно еще "непуганный работодатель". Вот когда Ваш работник принесет больничный, в котором будет написано "Несчастный случай на производстве" , да еще с тяжелыми последствиями, тогла Вы замучаетесь объяснять государственному инспектору труда: "Почему Ваш работник в рабочее время ( Вы же в табель ставите рабочее время) получил травму не на рабочем месте?!

припугнуть увольнением за прогул, не ставить восьмерочки в табеле рабочего времени, лишить премии - арсенал широк)

1. Проведите сначала с ним беседу и предупредите, что в следующий раз вы будете оформлять прогул.
2. Если беседа не возымеет нужного эффекта, составляйте акт о невыходе, берите с него объяснительную о причинах прогула, если он болел, то он должен предоставить больничный лист, который подтверждает уважительность его причины, если больничного нет, то оформляете приказ о дисциплинарном взыскании.
ну а так же при беседе (пункт 1) процитируйте трудовой кодекс, что вы его можете уволить за прогул.
Главное, чтобы он понял серьезность ваших намерений и беседу проводите не один на один, а создайте комиссию и строго причешите, заявите о своих намерениях жестко.

как говорится, каждый народ достоин своего правителя, если терпите - терпите дальше.
И незаменимых людей не бывает, дайте понять это сотруднику.

Пусть напишет заявление об увольнении без даты. И оно лежит у вас. Может не будет прогуливать и пить.