Что делать с сотрудником часто сидящим на больничном?

Высвободить его рабочее место для нового работника, который реже болеет.

у нас пределом терпения негласно считается 40 - 50 рабочих дней в год,
работодатель оплачивает только 6 недель подряд, дальше полис

Ну, никто вам не запрещает на время её отсутствия на рабочем месте брать другого работника по срочному трудовому договору. Только кто пойдёт то так работать, на пару дней /недель? Перераспределяйте её обязанности между другими работниками и доплачивайте им.
И куда она должна пойти "ещё посидеть"? В отпуск без сохранения зарплаты что ли? А оно ей надо? Она и так не работает, но деньги получает. С чего вдруг она пойдёт без денег сидеть?
Если считаете, что уволить её жестоко, то терпите её постоянное отсутвие на работе. Это уже ваш выбор, как работодателя.

На время ее больничных вы имеете полное право брать другого человека. Временно на период отсутствия основного работника.
Ей уйти посидеть - на какие шиши она будет тогда кормить детей?
А удаленно организовать ее работу нет возможности? Пусть работает из дома.

Провести реорганизацию, и сократить ее штатную единицу и пусть идет лесом.

Терпеть, только если он ну очень ценный кадр...

ничего не сделать ,

Надо проверить, правда ли он болеет или нет. Если нет, то ему должен быть штраф.

Но не понимаю, как началник спрашивает тут вопросы... Может это написал рабочий, который сам много берет больничный