Здравствуйте! Сотрудник с 24.05 по 16.06 был в трудовом отпуске, во время отпуска открыл больничный лист с 27.05. по 26

Если работник открыл больничный по уходу за больным членом семьи, то ему отпуск не продлевается.

Догадайся, мол, сама, что хочу спросить...

Если работник во время отпуска брал больничный лист, то его отпуск продлевается на количество дней болезни.

Во первых, открытие больничного листка автоматически продлевает отпус на количество календарных дней, указанных в больничном листке, независимо от того основной это отпуск или дополнительный (кроме учебного) .
Во-вторых, во время отпуска или во время временной нетрудоспособности, что подтверждается больничным листком, уволить работника нельзя! Советую обратиться с этим вопросом письменно в ближайший к Вам территориальный отдел комитета по охране труда. Более того, в случае судебного разбирательства по трудовым спорам, Вы точно выиграете дело при условии, что иск Вы подали не позднее 30 календарных дней со дня увольнения. Если Вас уволили по Вашему заявлению по собственному желанию, а отработку две недели засчитали отпускным периодом, то в данном случае нарушений трудового законодательства нет, т. к. Вы в последний рабочий день (день увольнения) не постаили в известность своего работодателя, что Вы передумали увольняться. Хотя, открытие Вами больничного листка, автоматически явилось основанием для продления с Вами трудовых отношений. Судя по датам, "24.05 по 16.06" Вы пропустили срок подачи иска (Ваш работодатель может ходатайствовать как ответчик о пропусках сролка подачи иска по трудовым спорам) , суд Вы проиграете, хотя, это остается на усмотрение судьи.