не подписывают заявление об увольнении. что делать?

а для чего вы суете ваши заявления старшей медсестре? Вы их должны нести секретарю главврача, регистрировать. А дальше отсчитываете 2 недели и можете считать себя свободной. Вас обязаны уволить. Дела будете сдавать лицу, назначенному главврачом. не назначат никого - стало быть, матценности принимает сам главврач

Вообще-то воппросы расторжения трудовых договоров - это прерогатива главного врача, а не старшей медсестры. Завизировать заявление у секретаря во входящей документации.

отправить по почте заказным письмом с уведомлением о вручении. точно не знаю, но, вроде, дата вручения считается официальной датой подачи заявления.

А Трудовой кодекс РФ (ст. 80) вовсе не обязывает вас дожидаться чьей-либо подписи заявления об увольнении. Ваше дело - подать заявление работодателю, но так, чтобы это было зафиксировано. Т. е. на копии заявления нужно сделать отметку у секретаря, в канцелярии и т. д, о том, что само заявление принято такого-то числа и тем-то (подпись, желательно штамп или печать) . И со следующего дня проработать ровно две недели, а в последний день прийти за трудовой книжкой и полным расчётом. После чего на работу уже не выходите. Если не захотят ставить отметку о приёме - просто направьте заявление заказным письмом с уведомлением о вручении, а еще лучше - сообщите телеграммой с заверенным фактом и с уведомлением о вручении (дойдёт через несколько часов) . Иначе самодурство вашей старшей медсестры будет продолжаться бесконечно.

Отправить по почте с уведомлением или через секретаря с подписью на втором экземпляре с угрозой обращения в трудовую инспекцию