может-ли работодатель уволить по статье за недоверие без решения суда

Решение суда (причем вступившее в силу) обязательно при увольнении за хищение на рабочем месте чужого имущества (или его уничтожение) .
Уволить за утрату доверия вполне возможно и без судебного решения. Только, естественно, это должно быть правильно оформлено.
В частности, применить такую формулировку можно только в отношении работников, непосредственно обслуживающих денежные или товарные ценности (прием, хранение, транспортировку и т. п.) , и при условии, что ими совершены виновные действия (использование имущества работодателя в личных целях, прием и выдача денег и товара без документального оформления, обвес, обсчет, обвешивание, нарушение правил продажи лекарственных средств, алкоголя, сигарет, недостача) . Это могут быть, например, кладовщики, водители-экспедиторы, продавцы, кассиры. А вот бухгалтеры. например, нет - потому что они не имеют дела непосредственно с деньгами и материальными ценностями.
Еще такая формулировка может применяться к госслужащим (в некоторых случаях) .
В любом варианте необходимо подтверждение виновных действий документами, объяснительная записка работника, решение комиссии. рассматривавшей проблему и признавшей лицо виновным.. . и многое другое для соблюдения процедуры увольнения по данному основанию.

Сами подумайте, зачем работодателю обращаться за разрешением в суд?! Для этого и существует ст. 81 п. 7 Трудового кодекса РФ.

Да. А Вы потом обжалуйте и восстанавливайтесь через суд. Только срок на иск всего 1 мес. Поэже поезд уйдет.