Ребенок заболел, могу ли я взять больничный перед новым годом.

Да не важно где Вы работаете, самое главное, что у Вас есть трудовой договор и тогда права защищены ТК РФ. Оформляйте б/л по уходу и лечите ребёнка. В большинстве случаев испытательный срок, это пугало фиктивное, т. к. он не подкреплён процедурами. Так что уволить, как не прошедшую испытание не получится, но на время б/л он будет продлён.
Статья 70. Испытание при приеме на работу.
При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе. Отсутствие в трудовом договоре условия об испытании означает, что работник принят на работу без испытания. В случае когда работник фактически допущен к работе без оформления трудового договора (часть вторая статьи 67 настоящего Кодекса), условие об испытании может быть включено в трудовой договор, только если стороны оформили его в виде отдельного соглашения до начала работы. В период испытания на работника распространяются положения трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, коллективного договора, соглашений, локальных нормативных актов. Испытание при приеме на работу не устанавливается для: лиц, избранных по конкурсу на замещение соответствующей должности, проведенному в порядке, установленном трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права; беременных женщин и женщин, имеющих детей в возрасте до полутора лет; лиц, не достигших возраста восемнадцати лет; лиц, окончивших имеющие государственную аккредитацию образовательные учреждения начального, среднего и высшего профессионального образования и впервые поступающих на работу по полученной специальности в течение одного года со дня окончания образовательного учреждения; лиц, избранных на выборную должность на оплачиваемую работу; лиц, приглашенных на работу в порядке перевода от другого работодателя по согласованию между работодателями; лиц, заключающих трудовой договор на срок до двух месяцев; иных лиц в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, коллективным договором. Срок испытания не может превышать трех месяцев, а для руководителей организаций и их заместителей, главных бухгалтеров и их заместителей, руководителей филиалов, представительств или иных обособленных структурных подразделений организаций - шести месяцев, если иное не установлено федеральным законом. При заключении трудового договора на срок от двух до шести месяцев испытание не может превышать двух недель. В срок испытания не засчитываются период временной нетрудоспособности работника и другие периоды, когда он фактически отсутствовал на работе.
Статья 71. Результат испытания при приеме на работу.
При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд. При неудовлетворительном результате испытания расторжение трудового договора производится без учета мнения соответствующего профсоюзного органа и без выплаты выходного пособия. Если срок испытания истек, а работник продолжает работу, то он считается выдержавшим испытание и последующее расторжение трудового договора допускается только на общих основаниях. Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.
Самое главное помните, надо обосновать это работодателю.

кто мешает- берите... кстати, больничный лист не является причиной не прохождения испытательного срока...

Можете. Работник на испытательном сроке имеет все права согласно трудового договора. Другое дело, что после испытательного срока вам могут заявить о вашем несоответствии должности по любой надуманной причине (не справляетесь типа), но никак формально не по причине больничного

Можешь