Если я нахожусь в отпуске по уходу за ребенком и заболела сама, могу ли я взять больничный, чтобы на работе оплатили?

Нет, конечно. Больничный во время отпуска по уходу за ребенком, как и во время отпуска без сохранения з/платы не оплачивается.
Оплачивается только период временной нетрудоспособности во время очередного отпуска.

Чтобы вам оплатили больничный вам придется прервать отпуск по уходу за ребенком, соответственно, за этот период вам не будет начислятся пособие по уходу.
В пункте 23 Порядка выдачи медицинскими организациями листков нетрудоспособности (утв. Приказом Минздравсоцразвития РФ от 1 августа 2007 г. № 514). сказано, что «при наступлении временной нетрудоспособности в период… отпуска по уходу за ребенком до достижения им возраста 3-х лет листок нетрудоспособности выдается со дня окончания указанных отпусков в случае продолжающейся временной нетрудоспособности» . На этом основании специалисты ФСС делают вывод, что если женщина не проинформировала медицинскую организацию о нахождении в отпуске по уходу за ребенком и ей выдали листок нетрудоспособности, больничный не может быть оплачен.

Если прервете отпуск по уходу за ребенком.

нет.

Нельзя

Статья 9. Периоды, за которые пособие по временной нетрудоспособности не назначается. Основания для отказа в назначении пособия по временной нетрудоспособности

1. Пособие по временной нетрудоспособности не назначается застрахованному лицу за следующие периоды:
1) за период освобождения работника от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством Российской Федерации, за исключением случаев утраты трудоспособности работником вследствие заболевания или травмы в период ежегодного оплачиваемого отпуска;

Нет

Можете.

Конечно!