Прекращение трудовых отношений.

Трудовой кодекс не содержит понятия "отработка". Если Вы уведомили работодателя за 2 недели о своем желании расторгнуть трудовой договор, значит Вы исполнили свою обязанность в порядке ст. 80 ТК РФ, И это Вы могли сделать в любое время, даже на больничном. Поэтому, работодатель расторгнет с Вами трудовой договор в дату, указанную в заявлении. Больничный примет к оплате, но только до даты увольнения.

в силу положений ст. 80, 84.1, 140 тк рф: работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели; обстоятельств увеличивающих срок, в том числе: наличие в указанном периоде выходных и праздничных дней, нахождение работника на больничном или в отпуске, не переданные материальные ценности, отсутствие работнику замены и тому подобное, трудовой кодекс не содержит; в день прекращения трудового договора работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку и произвести расчет

нет не продлится и выплатят сразу после расторжения больничный показать

В ситуации, когда написано заявление об увольнении по собственному желанию, инициатива расторжения трудового договора исходит не от работодателя, а от самого работника. Следовательно, Ваше увольнение в период нахождения на больничном возможно. Когда Вы выйдете после болезни, работодатель заполнит больничный лист и уже затем проведет процедуру увольнения согласно установленному порядку (в зависимости от причины увольнения), то есть оформит обоснование для увольнения, на основании документов издаст приказ об увольнении, произведет расчет с работником и в последний день работы выдаст Вам трудовую книжку.
Срок предупреждения в Вашем случае не продлевается. Вы будете уволены согласно заявлению.