Можно ли стать судьей (мировым, районным) без службы в армии? (Не служил из за сердца, получил военный билет)

Без службы в Армии никак.

близко не подпустят..
..там и без тебя толпы блатарей

можно

Поработай в органах пока, опыта наберись. Рано тебе судить ещё. С твоим то сердцем)

1. Судьей может быть гражданин Российской Федерации:

1) имеющий высшее юридическое образование по специальности "Юриспруденция" или высшее образование по направлению подготовки "Юриспруденция" квалификации (степени) "магистр" при наличии диплома бакалавра по направлению подготовки "Юриспруденция";
2) не имеющий или не имевший судимости либо уголовное преследование в отношении которого прекращено по реабилитирующим основаниям;
3) не имеющий гражданства (подданства) иностранного государства либо вида на жительство или иного документа, подтверждающего право на постоянное проживание гражданина Российской Федерации на территории иностранного государства;
4) не признанный судом недееспособным или ограниченно дееспособным;
5) не состоящий на учете в наркологическом или психоневрологическом диспансере в связи с лечением от алкоголизма, наркомании, токсикомании, хронических и затяжных психических расстройств;
6) не имеющий иных заболеваний, препятствующих осуществлению полномочий судьи.

Про армию ни слова.

В зависимости от отрасли есть дополнительные требования относительно возраста и стажа работы в юридической сфере. Статья 4 Закона РФ от 26.06.1992 N 3132-1 "О статусе судей в Российской Федерации" в последней редакции

Вы неверно ставите этот вопрос. При наличии серьёзных отклонений по здоровью (в том числе и отсутствие службы в армии, по данной причине), вам откажут в приёме в судьи. Объясню логичнее, судья высоко оплачиваемая должность, и наличие больных судей, не нужно государству. эта служба, также как Госслужба, включает в себя и соответствующиие критерии по здоровью.