Во всех учебниках японского языка слоги "chi, shi" переводятся как "ти, си". Но японцы произносят "чи", "ши". Что верно?

Нет, они не произносят ни «ти, си, » ни «чи, ши» . Они шепелявят.
Верной является транскрипция Поливанова, где «ти» и «си» записываются как «ти» и «си» .

И ещё:
Латинские буквы не являются буквами высшего сорта, точно так же русские буквы не являются буквами второго сорта. Это надо понимать. Я бы переделал Ваш вопрос так:

«Во всех учебниках японского языка слоги "*, *" (вместо звёздочек подходящие зники катаканы) переписываются латинскими буквами как "chi, shi" и русскими буквами как "ти, си". Но японцы произносят "чи", "ши". Какая запись больше подходит для записи японских слов европейскими буквами: Хепберна или Поливанова?

Именно поэтому блюда, которые мы называем "суши" и "сашими" по - японски называются "суси" и "сасими".

народ.
японцы вас поймут с «ти, си, » и с «чи, ши» .
ржать будут в любом случае.
вы тратите своё время на бесполезные споры.
лучше учите грамматику... .

в учебниках японского языка используются комбинации букв напоминающие читателю что именно произносить, а не как именно.

...кто-то чётко говорит шестьдесят, кто-то говорит шыздисят, кто-то шэстесят, но при этом смысл остаётся понятным. Не так ли?

Во первых, только в самых убогих, скопированных с таких же убогих американских, учебниках японские слоги пишутся как chi, shi. В нормальных учебниках это ち и し.
Во вторых, слоги не переводятся, а транслитерируются, и так же как только особо "интеллектуальные" будут транслитерировать английское "sh" как "сх", так и для записи транслитерации японских слогов есть правила, по которым они записываются как "ти" и "си".
В третьих, японцы не знают русского (подавляющее большинство) , и прозносить "чи" и "ши" не умеют, один только звук ШЫ (звук при чтении ШИ) , который японцы выговорить не могут, чего стоит. Если бы вы слышали как японцы пытаются произнести русские слова с "чи" и "ши", то не говорили бы такое.
К размышлению, по японски Россия - ロシア Росиа, Путин - プーチン Путин
В Японии также есть система для записи японского кириллицей и наоборот, и там так же ТИ и СИ.

Пишется "ти", "си/щи", произносятся "ти/шепелявая ти", "си/щи". Никаких "чи" и "ши" нет в японском, с вас будут угорать японцы, в японском нет "ч, ш, л, ы, ь".

"Чи" и "ши" они не произносят, они просто в этих слогах слегка шепелявят. В русской транскрипции они пишутся "ти" и "си", и произносить их следует именно так